当 $x\to 0$ 时，$\sin x\sim x$、$1+\cos x\to 2$、$\ln (1+x)\sim x$。

又因 $\left|x^2\cos (\frac{1}{x})\right|\le x^2=o(x)$，故原式的分子为 $3x+o(x)$，分母为 $2x+o(x)$。因此极限为 $\frac{3}{2}$。