1990 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

从

0, 1, 2, \dots, 9

十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率：

答案

$\frac{7}{15}$

按“不含0或不含5”理解： $\frac{14}{15}$

$\frac{7}{30}$

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从十个数字中等可能地选出三个不同数字，共有 $(3 10) = 120$ 种选法。

三个数字中既不含 $0$ 也不含 $5$ ，需从其余八个数字中选三个，故

P (A_{1}) = \frac{( 3 8 )}{( 3 10 )} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15} .

本问将“或”按并事件理解：令 $B$ 为“不含 $0$ ”， $C$ 为“不含 $5$ ”，则 $A_{2} = B \cup C$ ，即至少有一个指定数字未被选中；两者都未被选中也包括在内。

其补事件为同时含有 $0$ 和 $5$ 。固定这两个数字后，第三个数字有八种选法，所以

P (A_{2}) = 1 - \frac{( 1 8 )}{( 3 10 )} = 1 - \frac{8}{120} = \frac{14}{15} .

这里明确采用“不含0或不含5”的读法；若把原句的否定范围理解为“0和5都不含”，就与第一问同义，概率为 $\frac{7}{15}$ ，不是本问采用的并事件解释。

必须选入 $0$ ，且不能选入 $5$ 。另外两个数字从其余八个数字中选出，有 $(2 8) = 28$ 种选法。

因此

P (A_{3}) = \frac{( 2 8 )}{( 3 10 )} = \frac{28}{120} = \frac{7}{30} .