1994 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设函数

y = \frac{x ^{3} + 4}{x ^{2}}

。

答案

增区间为 $(- \infty, 0), (2, + \infty)$ ，减区间为 $(0, 2)$ ； $x = 2$ 时取得极小值 $3$ ，无极大值

凹区间为 $(- \infty, 0), (0, + \infty)$ ，无凸区间；无拐点

竖直渐近线为 $x = 0$ ，斜渐近线为 $y = x$

图像由两支始终向上弯曲的曲线组成：左支在负半轴单调增加并穿过横轴，右支从正无穷下降到极小点后再上升。竖直渐近线为 $x = 0$ ，斜渐近线为 $y = x$ ，极小点为 $(2, 3)$

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函数为 $y = x + 4 x^{- 2}$ ，定义域是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 。其导数为

y^{'} = 1 - \frac{8}{x ^{3}} = \frac{x ^{3} - 8}{x ^{3}} .

符号分析得：在 $(- \infty, 0)$ 和 $(2, + \infty)$ 上 $y^{'} > 0$ ，在 $(0, 2)$ 上 $y^{'} < 0$ 。故增区间为 $(- \infty, 0)$ 、 $(2, + \infty)$ ，减区间为 $(0, 2)$ 。

在 $x = 2$ 两侧， $y^{'}$ 由负变正，因此 $x = 2$ 是极小值点，

y (2) = 2 + \frac{4}{2 ^{2}} = 3.

导数没有由正变负的点，故无极大值。

二阶导数为

y^{''} = \frac{24}{x ^{4}} > 0 (x \neq = 0) .

按 $y^{''} > 0$ 对应凹区间的约定，函数图像在 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 上均为凹的，没有凸区间。

在定义域的两个区间内 $y^{''}$ 始终为正，没有凹凸性改变； $x = 0$ 又不在定义域内。因此函数图像没有拐点。

由于

x \to 0^{\pm} lim (x + \frac{4}{x ^{2}}) = + \infty,

所以 $x = 0$ 是竖直渐近线。

又因

x \to \pm \infty lim [y - x] = x \to \pm \infty lim \frac{4}{x ^{2}} = 0,

所以 $y = x$ 是斜渐近线。

左支位于 $x < 0$ ：从斜渐近线 $y = x$ 的上方出发，始终单调增加，经过 $(- 34, 0)$ ，并在 $x \to 0^{-}$ 时趋于 $+ \infty$ 。

右支位于 $x > 0$ ：在 $x \to 0^{+}$ 时趋于 $+ \infty$ ，随后下降到极小点 $(2, 3)$ ，再上升并从上方趋近斜渐近线 $y = x$ 。两支上均有 $y^{''} > 0$ 。这些特征唯一确定所需草图。