令 $u=1-x$，则 $x=1-u$。于是

$${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-u)u^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}u.$$

逐项积分得 $\frac{2}{3}-\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$。