当 $r=m$ 时，$A$ 的列空间维数等于 $m$，故列空间就是 ${\mathbb{R}}^m$，任意 $b$ 都属于列空间，方程组必有解。

若仅有 $r=n$，还不能排除 $m>n$ 时 $b$ 不在列空间；$m=n$ 也不能保证满秩；$r<n$ 时若方程组不相容则无解。故只有 A 必然成立。