1987 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

求微分方程

x \frac{d y}{d x} = x - y

满足条件

y ∣_{x = 2} = 0

的解。

答案

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{x}, x > 0$

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原方程等价于 $x y^{'} + y = x$ ，即

(x y)^{'} = x .

积分得

x y = \frac{x ^{2}}{2} + C, y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x} .

代入 $y (2) = 0$ ，得

0 = \frac{2}{2} + \frac{C}{2},

从而 $C = - 1$ 。包含初值点的最大区间为 $x > 0$ ，故

y = \frac{x}{2} - \frac{1}{x}, x > 0.