充分性：若 $r(B)=n$，则对任意非零 $x\in {\mathbb{R}}^n$，有 $Bx\ne 0$。由于 $A$ 正定，$x^T{B}^{T}ABx=(Bx{)}^{T}A(Bx)>0$，故对称矩阵 $B^{T}AB$ 正定。

必要性：若 $B^{T}AB$ 正定而 $r(B)<n$，则齐次方程 $Bx=0$ 有非零解 $x$。此时 $x^T{B}^{T}ABx=0$，与正定性矛盾。因此必须有 $r(B)=n$。