令 $g(x)=f(x)-f(b)$。题设等价于

若 $g\equiv 0$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上为常数，任取 $\xi \in (a,b)$ 都有 $f^{\prime }(\xi )=0$。

若 $g$ 不恒为零，由连续性及积分为零可知，$g$ 不可能在 $[a,b]$ 上恒非负或恒非正，因此存在两点使 $g$ 分别取正值和负值。由介值定理，存在 $c\in (a,b)$ 使 $g(c)=0$，即 $f(c)=f(b)$。

在区间 $[c,b]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (c,b)\subset (a,b)$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$。