1997 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设

D

是以点

O (0, 0), A (1, 2), B (2, 1)

为顶点的三角形区域，求

\iint_{D} x d x d y

。

答案

$\frac{3}{2}$

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三角形面积为

∣ D ∣ = \frac{1}{2} det (1221) = \frac{3}{2} .

线性函数 $x$ 在三角形上的平均值等于其在重心处的值。重心横坐标为 $\frac{( 0 + 1 + 2 )}{3} = 1$ ，所以

\iint_{D} x d x d y = ∣ D ∣ \times 1 = \frac{3}{2} .