2020 · 数学二 · 第 7 题 · 选择题

设

4

阶矩阵

A = (a_{ij})

不可逆，

a_{12}

的代数余子式

A_{12} \neq = 0

。记

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

为矩阵

A

的列向量，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，则方程组

A^{*} x = 0

的通解为（　　）。

A
$x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
B
$x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
C
$x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数
正确答案
D
$x = k_{1} α_{2} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数

答案

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（1） $A$ 不可逆，故 $r (A) \leq 3$ ；而 $A_{12} \neq = 0$ 表明存在非零三阶子式，故 $r (A) \geq 3$ 。因此 $r (A) = 3$ ，由伴随矩阵的秩公式得 $r (A^{*}) = 1$ ，所以 $A^{*} x = 0$ 的解空间维数为 $4 - 1 = 3$ 。
（2）由 $A^{*} A = ∣ A ∣ E = O$ ，得 $A^{*} α_{j} = 0$ ，因此 $A$ 的各列都是所求方程组的解。 $A_{12} \neq = 0$ 对应删去第一行、第二列后的三阶子式非零，故第一、三、四列删去第一分量后线性无关，原来的三列 $α_{1}, α_{3}, α_{4}$ 也线性无关。它们构成三维解空间的一组基，通解为

x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4},

其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in R$ ，选 C。
（3）其余选项均含第二列，题设并不保证它们张成整个解空间。例如

A = 0100000000100001

满足 $∣ A ∣ = 0, A_{12} = - 1 \neq = 0$ ，但 $α_{2} = 0$ ，其余各选项最多张成二维空间，不能给出通解。