1999 · 数学三 · 第 2 题 · 填空题

设

f (x, y, z) = e^{x} y z^{2}

，其中

z = z (x, y)

是由

x + y + z + x y z = 0

确定的隐函数，则

f_{x}^{'} (0, 1, - 1) =

。

答案

$1$

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对 $x + y + z + x y z = 0$ 关于 $x$ 求偏导，得

1 + z_{x} + y z + x y z_{x} = 0, z_{x} = - \frac{1 + y z}{1 + x y} .

在 $(0, 1, - 1)$ 处有 $z_{x} = 0$ 。

把 $z = z (x, y)$ 代入 $f = e^{x} y z^{2}$ ，则

f_{x}^{'} = e^{x} y z^{2} + 2 e^{x} y z z_{x} .

代入 $(0, 1, - 1)$ 得 $f_{x}^{'} (0, 1, - 1) = 1$ 。