2017 · 数学二 · 第 15 题 · 解答题

求极限

x \to 0^{+} lim \frac{\int _{0}^{x} x - t e ^{t} dt}{x ^{3}}

。

答案

$\frac{2}{3}$

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（1）被积函数含参数 $x$ ，先令 $u = x - t$ ，则 $t = 0, x$ 分别对应 $u = x, 0$ ，且 $d t = - d u$ 。因此

\int_{0}^{x} x - t e^{t} d t = \int_{0}^{x} u e^{x - u} d u = e^{x} \int_{0}^{x} u e^{- u} d u .

当 $x \to 0^{+}$ 时， $e^{x} \to 1$ ， $x^{3} = x^{\frac{3}{2}}$ 。
（2）对剩余的 $\frac{0}{0}$ 型极限用洛必达法则。被积函数 $u e^{- u}$ 在 $[0, + \infty)$ 连续，分母导数在 $x > 0$ 非零，故

x \to 0^{+} lim \frac{\int _{0}^{x} u e ^{- u} d u}{x ^{\frac{3}{2}}} = x \to 0^{+} lim \frac{x e ^{- x}}{( \frac{3}{2} ) x} = \frac{2}{3} .

所以所求极限为 $1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ 。直接把原分子的导数写成上限处的被积函数值会遗漏参数 $x$ 的贡献。

沿用换元结果 $e^{x} \int_{0}^{x} u e^{- u} d u$ 。当 $0 \leq u \leq x$ 时， $e^{- x} \leq e^{- u} \leq 1$ ，于是

e^{- x} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \leq \int_{0}^{x} u e^{- u} d u \leq \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} .

两边乘以 $\frac{e ^{x}}{x ^{\frac{3}{2}}}$ ，得原分式介于 $\frac{2}{3}$ 与 $(\frac{2}{3}) e^{x}$ 之间。令 $x \to 0^{+}$ ，由夹逼准则得极限 $\frac{2}{3}$ 。这也严格说明积分中 $e^{- u}$ 可用其极限 $1$ 作渐近估计。