令 $H(t)={\int }_t^{t+2}f(x)\mathrm{d}x$。因 $f$ 连续，$H^{\prime }(t)=f(t+2)-f(t)=0$，所以 $H(t)$ 为常数。

取 $t=0$，即得 ${\int }_t^{t+2}f(x)\mathrm{d}x=H(t)=H(0)={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$。

记 $I={\int }_0^{2}f(s)\mathrm{d}s$。由第一问结论，${\int }_t^{t+2}f(s)\mathrm{d}s=I$，故 $G(x)={\int }_0^x[2f(t)-I]\mathrm{d}t$。

令 $h(t)=2f(t)-I$。它是周期为 $2$ 的连续函数，且 ${\int }_0^{2}h(t)\mathrm{d}t=2I-2I=0$。

于是 $G(x+2)-G(x)={\int }_x^{x+2}h(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{2}h(t)\mathrm{d}t=0$，所以 $G(x+2)=G(x)$，即 $G$ 是周期为 $2$ 的周期函数。