2025 · 数学三 · 第 5 题 · 选择题

设

A

是

m \times n

矩阵，

β

是

m

维非零列向量。若

A

有

k

阶非零子式，则（　　）。

A
当 $k = m$ 时， $A x = β$ 有解
正确答案
B
当 $k = m$ 时， $A x = β$ 无解
C
当 $k < m$ 时， $A x = β$ 有解
D
当 $k < m$ 时， $A x = β$ 无解

答案

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（1） $A$ 有 $k$ 阶非零子式，只能推出 $r (A) \geq k$ 。当 $k = m$ 时，结合 $A$ 只有 $m$ 行，得 $r (A) = m$ 。增广矩阵 $(A, β)$ 也只有 $m$ 行，所以

m = r (A) \leq r (A, β) \leq m .

于是 $r (A, β) = r (A) = m$ ，方程组有解，A 正确，B 错误。
（2）当 $k < m$ 时，仅凭已知条件不能确定是否有解。取 $A = (1000)$ ，它有一阶非零子式， $k = 1 < 2 = m$ 。若 $β = (1, 0)^{T}$ ，方程组为 $x_{1} = 1, 0 = 0$ ，有解，排除 D；若 $β = (0, 1)^{T}$ ，方程组含矛盾式 $0 = 1$ ，无解，排除 C。因此选 A。