记 $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+n+k}$。因 $1\le k\le n$，有

$$\frac{\sum _{k=1}^{n}k}{n^2+2n}\le S_n\le \frac{\sum _{k=1}^{n}k}{n^2+n+1}.$$

利用 $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$，上下界均趋于 $\frac{1}{2}$，故由夹逼定理 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{2}$。