1999 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

证明：当

0 < x < π

时，有

sin \frac{x}{2} > \frac{x}{π}

。

答案

证明见解析

查看解析展开

令 $t = \frac{x}{2}$ ，则 $0 < t < \frac{π}{2}$ 。函数 $y = sin t$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上严格凹，因此其图像在两端点连线的上方。

连接 $(0, 0)$ 与 $(\frac{π}{2}, 1)$ 的弦为 $y = \frac{2 t}{π}$ ，故

sin \frac{x}{2} = sin t > \frac{2 t}{π} = \frac{x}{π} .