代入 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$，得 $r^4=r^2\cos 2\theta$，非原点部分满足 $r^2=\cos 2\theta$。右侧一瓣对应 $-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$。

一瓣面积为

两瓣总面积为 $2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2\theta \mathrm{d}\theta$，故选 A。