2007 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

设幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

在

(- \infty, + \infty)

内收敛，其和函数

y (x)

满足

y^{''} - 2 x y^{'} - 4 y = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = 1

。

答案

证明见解析

$x e^{x^{2}}$

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由于幂级数在整个实轴收敛，可逐项求导。代入微分方程并比较 $x^{n}$ 的系数，得到

(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} - 2 (n + 2) a_{n} = 0 (n \geq 0) .

所以

a_{n + 2} = \frac{2}{n + 1} a_{n},

特别地对 $n = 1, 2, \dots$ 成立。

由初值 $a_{0} = y (0) = 0, a_{1} = y^{'} (0) = 1$ ，第一问的递推式（包括 $n = 0$ ）给出

a_{2 k} = 0, a_{2 k + 1} = \frac{1}{k !} (k \geq 0) .

因此

y (x) = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 k + 1}}{k !} = x e^{x^{2}} .