底数在 $x=0$ 的充分小邻域内为正。令 $g(x)=(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}$（$x\ne 0$），先求 $\ln g(x)=\frac{\ln (2\sin x+\cos x)}{x}$ 的极限。

分子、分母同趋于零，在该邻域内可导，且分母 $x$ 的导数恒为 $1$。由洛必达法则，

$$\underset{x\to 0}{\lim }\ln g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos x-\sin x}{2\sin x+\cos x}=2.$$

由指数函数的连续性，原极限为 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)={\mathrm{e}}^2$。