当 $x>0$ 时，写成 $f(x)=e^{2x\ln x}$，由链式法则得 $f^{\prime }(x)=2x^{2x}(\ln x+1)$。当 $x<0$ 时，乘积求导得 $f^{\prime }(x)=(1+x)e^x$。
在分界点 $0$ 处，$f(0)=1$，且 $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=1$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2x\ln x}=1$，故 $f$ 在 $0$ 连续。用定义分别考察差商：

右侧差商没有有限极限，所以 $f^{\prime }(0)$ 不存在。综上，$x\ne 0$ 时导数如上，$0$ 处不可导。

由（1），当 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)=(1+x)e^x$，因此 $f$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上递减，在 $(-1,0)$ 上递增，故 $x=-1$ 是极小值点，极小值为 $1-e^{-1}$。
当 $x>0$ 时，因 $2x^{2x}>0$，导数的符号由 $\ln x+1$ 决定。它在 $(0,e^{-1})$ 上为负，在 $(e^{-1},+\infty )$ 上为正，故 $x=e^{-1}$ 是极小值点，极小值为

还须检查不可导点 $0$。由（1）知 $f$ 在 $0$ 连续，而它在 $0$ 左侧递增、右侧递减，因此 $0$ 是极大值点，极大值为 $f(0)=1$。其余各区间上函数严格单调，故无其他极值。