2013 · 数学二 · 第 21 题 · 解答题

设曲线

L

的方程为

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} ln x (1 \leq x \leq e)

。

(1) 求 $L$ 的弧长；
(2) 设 $D$ 是由曲线 $L$ 、直线 $x = 1, x = e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标。

答案

第 1 问

$\frac{e ^{2} + 1}{4}$

第 2 问

$x ˉ = \frac{3 ( e ^{4} - 2 e ^{2} - 3 )}{4 ( e ^{3} - 7 )}$

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第 1 问

由 $y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{( ln x )}{2}$ ，得 $y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{( 2 x )}$ 。配方可得

1 + (y^{'})^{2} = 1 + (\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x})^{2} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2} .

在 $1 \leq x \leq e$ 上括号内为正，故弧长

s = \int_{1}^{e} 1 + (y^{'})^{2} d x = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{ln x}{2}]_{1}^{e} = \frac{e ^{2} + 1}{4} .

第 2 问

记 $h (x) = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{( ln x )}{2}$ 。因 $h^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 1 )}{( 2 x )} \geq 0$ ，故在 $[1, e]$ 上 $h (x) \geq h (1) = \frac{1}{4} > 0$ 。区域为 $1 \leq x \leq e$ ， $0 \leq y \leq h (x)$ 。
所求是平面图形的形心，故 $x ˉ = \frac{M _{y}}{A}$ ，其中面积 $A = \int_{1}^{e} h (x) d x$ ，对 $y$ 轴的静矩 $M_{y} = \int_{1}^{e} x h (x) d x$ 。计算面积：

A = [\frac{x ^{3}}{12} - \frac{x ln x - x}{2}]_{1}^{e} = \frac{e ^{3} - 1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{e ^{3} - 7}{12} .

静矩中的对数项由分部积分得到

\int_{1}^{e} x ln x d x = [\frac{x ^{2} ln x}{2} - \frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{e} = \frac{e ^{2} + 1}{4} .

所以

M_{y} x ˉ = \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x ln x d x = \frac{e ^{4} - 1}{16} - \frac{e ^{2} + 1}{8} = \frac{e ^{4} - 2 e ^{2} - 3}{16}, = \frac{M _{y}}{A} = \frac{3 ( e ^{4} - 2 e ^{2} - 3 )}{4 ( e ^{3} - 7 )} .

不能把此处面片的面积元误换成曲线的弧长元。