以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为列组成矩阵 $A=\lambda I+J$，其中 $J$ 是三阶全一矩阵。其特征值为 $\lambda +3,\lambda ,\lambda$，故 $\det A={\lambda }^2(\lambda +3)$。

当 $\lambda \ne 0,-3$ 时，$A$ 可逆，因此对给定 $\beta$ 的表示存在且唯一。

当 $\lambda =0$ 时，三个 ${\alpha }_i$ 都等于 $(1,1,1{)}^T$，而 $\beta =0$。因此 $\beta$ 可以表示；由于系数矩阵秩为 $1<3$，表示不唯一。

沿用第一问的系数矩阵 $A$ 和全 $1$ 矩阵 $J$。当 $\lambda =-3$ 时，$A=J-3I$ 的列空间是与 $(1,1,1{)}^T$ 正交的平面。

此时 $\beta =(0,-3,9{)}^T$，其分量和为 $6\ne 0$，故不在该列空间中，不能由三个 ${\alpha }_i$ 线性表示。