当 $x\to 0$ 时，${\sin }^{2}x=x^2-\frac{x^4}{3}+O(x^6)$，所以 $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{3}+O(x^2)$。

又 ${\cos }^{2}x=1-x^2+\frac{x^4}{3}+O(x^6)$，故 $\frac{{\cos }^{2}x}{x^2}=\frac{1}{x^2}-1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$。两式相减得原极限为 $\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$。