2011 · 数学一 · 第 7 题 · 选择题

概率密度须满足非负性及全轴积分为 $1$ 。题中 $f_{i} \geq 0$ ， $0 \leq F_{i} \leq 1$ ，所以四项均非负，关键是归一性。
由密度连续， $F_{i}^{'} = f_{i}$ ，故选项 D 为乘积 $F_{1} F_{2}$ 的导数。利用分布函数在正、负无穷处分别趋于 $1, 0$ ，得

\int_{- \infty}^{+ \infty} (f_{1} F_{2} + f_{2} F_{1}) d x = [F_{1} (x) F_{2} (x)]_{- \infty}^{+ \infty} = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1.

因此 D 必为概率密度，选 D。它也可理解为两个独立随机变量的最大值的密度。
其余三项可用连续密度构造反例。令

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 x, 4 (1 - x), 0, 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < x \leq 1, 其他,

并令 $h (x) = g (x - 2)$ 。 $g$ 处处连续、非负，图形为底 $1$ 、高 $2$ 的三角形，积分为 $1$ ； $h$ 同样是连续密度，二者非零区域分别在 $(0, 1)$ 、 $(2, 3)$ 。
对 A，取 $f_{1} = f_{2} = g$ ，则

\int_{- \infty}^{+ \infty} g^{2} (x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} 16 x^{2} d x = \frac{4}{3} \neq = 1.

对 B，取 $f_{1} = h, f_{2} = g$ 。当 $x \leq 2$ 时 $F_{1} (x) = 0$ ，当 $x \geq 1$ 时 $g (x) = 0$ ，所以 $2 g F_{1} \equiv 0$ ，不为密度。对 C，取 $f_{1} = g, f_{2} = h$ ，同理 $g F_{2} \equiv 0$ ，也不为密度。注意 $2 f_{2} F_{1}$ 中下标不同，不能按 $(F_{2}^{2})^{'}$ 处理。

答案