2016 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

已知矩阵

A = 020 - 1 - 3 0 100

。

(1) 求 $A^{99}$ ；
(2) 设 $3$ 阶矩阵 $B = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 满足 $B^{2} = B A$ ，记 $B^{100} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ ，将 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 分别表示为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 的线性组合。

答案

第 1 问

$A^{99} = 2^{99} - 2 2^{100} - 2 0 1 - 2^{99} 1 - 2^{100} 0 2 - 2^{98} 2 - 2^{99} 0$ 。

第 2 问

$β_{1} = (2^{99} - 2) α_{1} + (2^{100} - 2) α_{2}$ ； $β_{2} = (1 - 2^{99}) α_{1} + (1 - 2^{100}) α_{2}$ ； $β_{3} = (2 - 2^{98}) α_{1} + (2 - 2^{99}) α_{2}$ 。

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第 1 问

沿 $λ E - A$ 第三行展开，得 $∣ λ E - A ∣ = λ [λ (λ + 3) + 2] = λ (λ + 1) (λ + 2)$ 。特征值为 $0, - 1, - 2$ ，互异，故可对角化。
对特征值 $0$ ，由 $A x = 0$ 得 $x_{3} = x_{2}, 2 x_{1} = 3 x_{2}$ ，取 $ξ_{1} = (3, 2, 2)^{T}$ 。对 $- 1$ ，由 $(A + E) x = 0$ 得 $x_{3} = 0, x_{1} = x_{2}$ ，取 $ξ_{2} = (1, 1, 0)^{T}$ 。对 $- 2$ ，由 $(A + 2 E) x = 0$ 得 $x_{3} = 0, x_{2} = 2 x_{1}$ ，取 $ξ_{3} = (1, 2, 0)^{T}$ 。
因此取

P = 322110120, P^{- 1} = \frac{1}{2} 04 - 2 0 - 2 2 1 - 4 1,

有 $∣ P ∣ = 2 \neq = 0$ ， $P^{- 1} A P = Λ = diag (0, - 1, - 2)$ 。由于 $99$ 为奇数， $Λ^{99} = diag (0, - 1, - 2^{99})$ 。先将 $P$ 的各列乘对应幂，再乘 $P^{- 1}$ ，得到

A^{99} = P Λ^{99} P^{- 1} = \frac{1}{2} 000 - 1 - 1 0 - 2^{99} - 2^{100} 0 04 - 2 0 - 2 2 1 - 4 1 = 2^{99} - 2 2^{100} - 2 0 1 - 2^{99} 1 - 2^{100} 0 2 - 2^{98} 2 - 2^{99} 0 .

第 2 问

先由 $B^{2} = B A$ 归纳证明 $B^{n} = B A^{n - 1}$ 。 $n = 1$ 时成立；若 $B^{n} = B A^{n - 1}$ ，则

B^{n + 1} = B (B A^{n - 1}) = B^{2} A^{n - 1} = B A^{n} .

这里在左侧乘 $B$ ，仅用结合律，不需要假设 $A, B$ 可交换。因此 $B^{100} = B A^{99}$ 。
乘积第 $j$ 列是 $B$ 的各列以 $A^{99}$ 第 $j$ 列各分量为系数的线性组合。利用第一问结果，得到

β_{1} β_{2} β_{3} = (2^{99} - 2) α_{1} + (2^{100} - 2) α_{2}, = (1 - 2^{99}) α_{1} + (1 - 2^{100}) α_{2}, = (2 - 2^{98}) α_{1} + (2 - 2^{99}) α_{2} .

由于 $A^{99}$ 第三行全为零，三个表示式中 $α_{3}$ 的系数均为零。