被积函数 ${\mathrm{e}}^{\sin t}\sin t$ 的周期为 $2\pi$，故任意长度为 $2\pi$ 的积分相同，$F(x)$ 是常数。

将后半周期平移 $\pi$ 与前半周期配对，得 $F={\int }_0^{\pi }({\mathrm{e}}^{\sin t}-{\mathrm{e}}^{-\sin t})\sin t\mathrm{d}t>0$。故 $F(x)$ 为正常数，选 A。