1991 · 数学三 · 第 7 题 · 选择题

设

0 \leq a_{n} < \frac{1}{n}

（

n = 1, 2, \dots

），则下列级数中肯定收敛的是（　　）。

答案

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由 $0 \leq a_{n} < \frac{1}{n}$ 得 $0 \leq a_{n}^{2} < \frac{1}{n ^{2}}$ ，所以 $\sum a_{n}^{2}$ 收敛。故 $\sum (- 1)^{n} a_{n}^{2}$ 绝对收敛，D 必然成立。

其余结论均不由题设保证。例如令 $a_{n} = \frac{1}{( 2 n )}$ 可否定 A 和 C；令 $a_{2 k} = \frac{1}{( 4 k )}$ 、 $a_{2 k - 1} = 0$ 时，B 的级数也发散。