非竖直渐近线 $y=kx+b$ 要求在 $x\to +\infty$ 或 $x\to -\infty$ 时，$k=\lim \frac{f(x)}{x}$ 与 $b=\lim [f(x)-kx]$ 均存在且有限，其中 $k=0$ 对应水平渐近线。
（1）A：对 $f(x)=x+\sin x$，两端都有 $\frac{f(x)}{x}\to 1$，但 $f(x)-x=\sin x$ 在两端都没有极限。例如 $x_n=2n\pi$ 与 $z_n=2n\pi +\frac{\pi }{2}$ 趋于正无穷时，正弦值分别为 $0$ 与 $1$；负无穷方向同样振荡。因此无斜渐近线。函数在实轴连续，且两端函数值趋于相应无穷，也无竖直、水平渐近线。
（2）B：$f(x)=x^2+\sin x$ 在实轴连续，无竖直渐近线；两端 $f(x)\to +\infty$，无水平渐近线；又 $\frac{f(x)}{x}=x+\frac{\sin x}{x}$ 在正、负无穷方向分别趋于正、负无穷，斜率极限不有限，所以无斜渐近线。
（3）C：对 $f(x)=x+\sin \frac{1}{x}$，当 $x\to \pm \infty$ 时，

故 $y=x$ 是两端共同的斜渐近线。
（4）D：对 $f(x)=x^2+\sin \frac{1}{x}$，两端 $f(x)\to +\infty$，且 $\frac{f(x)}{x}=x+\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x}$ 没有有限极限，故无水平或斜渐近线。唯一需检查的有限点为 $0$，但 $|f(x)|\le x^2+1$，在 $0$ 附近有界，不存在竖直渐近线。
所以只有 C 有渐近线，选 C。