2007 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

设

D

是位于曲线

y = x a^{- \frac{x}{( 2 a )}} (a > 1, 0 \leq x < + \infty)

下方、

x

轴上方的无界区域。

答案

$V (a) = \frac{π a ^{2}}{( ln a ) ^{2}}$

$a = e, V_{m i n} = π e^{2}$

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绕 $x$ 轴旋转时，截面半径为

y = x a^{- \frac{x}{( 2 a )}},

故

V (a) = π \int_{0}^{+ \infty} y^{2} d x = π \int_{0}^{+ \infty} x a^{- \frac{x}{a}} d x = π \int_{0}^{+ \infty} x e^{- (l n a) \frac{x}{a}} d x .

由于 $a > 1$ ，令 $k = \frac{ln a}{a} > 0$ ，且

\int_{0}^{+ \infty} x e^{- k x} d x = \frac{1}{k ^{2}} .

因此

V (a) = \frac{π a ^{2}}{( ln a ) ^{2}} .

使用第一问求得的体积函数。令 $u = ln a > 0$ ，则

\frac{V ( a )}{π} = \frac{e ^{2 u}}{u ^{2}} .

其对数导数为

\frac{d}{d u} ln \frac{V ( a )}{π} = 2 - \frac{2}{u} .

唯一驻点为 $u = 1$ 。并且当 $u \to 0^{+}$ 或 $u \to + \infty$ 时， $\frac{e ^{2 u}}{u ^{2}} \to + \infty$ ，所以此驻点给出全局最小值。故

a = e, V_{m i n} = π e^{2} .