在 $x\in [1,2]$ 上，方程化为 $y^{\prime }-\frac{2}{x}y=-1$，其通解为 $y=x+C{x}^2$。

对应旋转体体积为

这是关于 $C$ 的开口向上二次函数，令其导数为零得 $\frac{15}{2}+\frac{62}{5}C=0$，所以 $C=-\frac{75}{124}$。

故所求解为 $y=x-\frac{75}{124}{x}^2$。