展开得 $f=y^2-(x^2+x^3)y+x^5$，故 $f_x=-(2x+3x^2)y+5x^4$、$f_y=2y-x^2-x^3$。由 $f_y=0$ 得 $y=\frac{x^2(1+x)}{2}$，代入 $f_x=0$，化为

所以全部驻点为 $(0,0)$、$(\frac{2}{3},\frac{10}{27})$、$(1,1)$。不能约去 $x^3$ 而漏掉原点。
二阶偏导为 $A=f_{xx}=-(2+6x)y+20x^3$、$B=f_{xy}=-(2x+3x^2)$、$C=f_{yy}=2$。函数为多项式，二阶偏导连续。
在 $(1,1)$ 处，$A=12$、$B=-5$、$C=2$，判别式 $AC-B^2=24-25=-1<0$，故为鞍点。
在 $(\frac{2}{3},\frac{10}{27})$ 处，$A=\frac{100}{27}$、$B=-\frac{8}{3}$、$C=2$，判别式为 $\frac{200}{27}-\frac{64}{9}=\frac{8}{27}>0$ 且 $A>0$，故为极小值点。代入原乘积形式，得

在原点处，$A=B=0$、$C=2$，判别式为零，不能据此直接分类。沿 $y=0$ 有 $f(x,0)=x^5$，任意小的原点邻域内，正负 $x$ 分别给出正、负函数值，而 $f(0,0)=0$，故原点不是极值点。
所有驻点已全部判定，因此只有上述极小值，没有极大值。