1987 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

假设某产品的总成本函数为

C (x) = 400 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2}

，而需求函数为

p = \frac{100}{x}

，其中

x

为产量（假定等于需求量），

p

为价格。

答案

$C^{'} (x) = x + 3$

$R^{'} (x) = \frac{50}{x}$

$L^{'} (x) = \frac{50}{x} - x - 3$

$E_{R, p} = - 1$

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边际成本为总成本对产量的导数：

C^{'} (x) = \frac{d}{d x} (400 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2}) = 3 + x .

产量等于需求量，故收益为

R (x) = p x = \frac{100}{x} x = 100 x, x > 0.

因而边际收益（题中的边际效益）为

R^{'} (x) = \frac{50}{x} .

利润 $L (x) = R (x) - C (x)$ ，代入第一、二问求出的边际成本和边际收益，得

L^{'} (x) = R^{'} (x) - C^{'} (x) = \frac{50}{x} - x - 3, x > 0.

由 $p = \frac{100}{x}$ 得 $x = \frac{10000}{p ^{2}}$ ，其中 $p > 0$ 。因此

R (p) = p x = \frac{10000}{p} .

按有符号价格弹性的定义，

E_{R, p} = \frac{p}{R ( p )} \frac{d R}{d p} = \frac{p}{\frac{10000}{p}} (- \frac{10000}{p ^{2}}) = - 1.