偏导数存在并不推出连续。例如令 $f(0,0)=0$，其余点取 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$。原点两个偏导数均存在，但沿 $y=x$ 的函数值为 $\frac{1}{2}$，故不连续。

连续也不推出偏导数存在。例如 $f(x,y)=|x|+|y|$ 在原点连续，但原点处两个偏导数均不存在。

因此偏导数存在既不是连续的充分条件，也不是必要条件，选择 D。