（1）将元素关系写为矩阵等式。伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，由 $A_{ij}=-a_{ij}$ 得 $A^{\ast }=-A^{\mathrm{T}}$。代入 $A{A}^{\ast }=|A|E$，得到

（2）排除零行列式。比较对角元，有 $a_{i1}^2+a_{i2}^2+a_{i3}^2=-|A|$。若 $|A|=0$，由实数平方非负可知全部元素为零，即 $A=O$，与题设非零矩阵矛盾，故 $|A|\ne 0$；并且上式也说明 $|A|<0$。

（3）取行列式。由 $|A^{\mathrm{T}}|=|A|$，左端为 $|A{|}^2$；右端为三阶矩阵，行列式为 $(-|A|{)}^3=-|A{|}^3$。于是 $|A{|}^2=-|A{|}^3$，即 $|A{|}^2(|A|+1)=0$。排除 $|A|=0$ 后，得 $|A|=-1$。
例如 $A=\mathrm{diag}(1,1,-1)$ 时，代数余子式矩阵为 $\mathrm{diag}(-1,-1,1)$，确实满足全部条件。