$\lambda =3:\mathrm{span}\{(1,1,1{)}^T\};\lambda =0:\mathrm{span}\{(-1,2,-1{)}^T,(0,-1,1{)}^T\}$

$Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0& \frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),\Lambda =\mathrm{diag}(0,0,3)$

令 $e=(1,1,1{)}^T$。各行元素和为 $3$ 意味着

所以 $3$ 是特征值，$e$ 是对应特征向量。

题给 ${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T$、${\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T$ 都满足 $A{\alpha }_i=0$，且二者线性无关；它们还都与 $e$ 正交。因此 $0$ 的特征子空间为 $\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$，而 $3$ 的特征子空间为 $\mathrm{span}\{e\}$。因此全部特征值为 $3,0,0$；对应于 $3$ 的特征向量为 $te$（$t\ne 0$），对应于 $0$ 的特征向量为 $s{\alpha }_1+t{\alpha }_2$（$s,t$ 不全为零）。

沿用第一问的 $e$ 及特征子空间。在零特征子空间中取 $q_1=\frac{(1,0,-1{)}^T}{\sqrt{2}}$、$q_2=\frac{(-1,2,-1{)}^T}{\sqrt{6}}$，并取 $q_3=\frac{e}{\sqrt{3}}$。三者两两正交且均为单位向量。

令 $Q=(q_1,q_2,q_3)$，则 $Q$ 为正交矩阵；对应特征值为 $0,0,3$，故