递增区间为$(-\infty ,-1)$和$(0,+\infty )$，递减区间为$(-1,0)$

$y(-1)=-2{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{4}}$为极大值，$y(0)=-{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}}$为极小值

$y=x-2$（$x\to -\infty$）和$y={\mathrm{e}}^{\pi }x-2{\mathrm{e}}^{\pi }$（$x\to +\infty$）

求导得

指数因子和分母恒正，故 $y^{\prime }>0$ 于 $(-\infty ,-1)\cup (0,+\infty )$，$y^{\prime }<0$ 于 $(-1,0)$。

由第一问的导数符号，在 $x=-1$ 处导数由正变负，故极大值为 $y(-1)=-2{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{4}}$；在 $x=0$ 处导数由负变正，故极小值为 $y(0)=-{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}}$。

当 $x\to -\infty$ 时，$\frac{\pi }{2}+\arctan x=-\frac{1}{x}+O(x^{-3})$，从而 $y=x-2+o(1)$，故渐近线为 $y=x-2$。

当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{\pi }{2}+\arctan x=\pi -\frac{1}{x}+O(x^{-3})$，从而 $y={\mathrm{e}}^{\pi }x-2{\mathrm{e}}^{\pi }+o(1)$，故渐近线为 $y={\mathrm{e}}^{\pi }x-2{\mathrm{e}}^{\pi }$。函数在实轴上处处有定义，故无竖直渐近线。