（1）证明 A。由反三角不等式 $||a_n|-|a||\le |a_n-a|$ 及 $a_n\to a$，得 $|a_n|\to |a|$。因为 $a\ne 0$，可取 $\epsilon =\frac{|a|}{2}>0$。按极限定义，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $||a_n|-|a||<\frac{|a|}{2}$，从而

因此 A 正确，B 与上述必然结论矛盾。
（2）否定 C、D。对 C，取 $a=1$、$a_n=1-\frac{2}{n}$，有 $a_n\to 1$，但 $a_n=1-\frac{2}{n}<1-\frac{1}{n}=a-\frac{1}{n}$，故 C 不成立。对 D，取 $a=1$、$a_n=1+\frac{2}{n}$，同样满足 $a_n\to 1$，但 $a_n=1+\frac{2}{n}>1+\frac{1}{n}=a+\frac{1}{n}$，所以 $a_n<a+\frac{1}{n}$ 不成立。
极限定义中的 $\epsilon$ 是预先固定的正数，不能直接用随 $n$ 变化的 $\frac{1}{n}$ 替代；单纯收敛也不规定从上方或下方趋近。因此选 A。