设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 对应的特征值分别为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$。两个线性无关向量构成二维空间的一组基；若二者特征值相同，则 $A$ 在这组基下为数量矩阵，与题设有两个不同特征值矛盾，故 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$。
利用 $A^2{\alpha }_i={\lambda }_i^2{\alpha }_i$，原等式化为

由线性无关知 ${\lambda }_1^2={\lambda }_2^2=1$。两者又不相等，因此分别为 $1,-1$，于是 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2=-1$。