2004 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

设有齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ (1 + a) x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0, 2 x_{1} + (2 + a) x_{2} + \dots + 2 x_{n} = 0, \dots\dots\dots\dots\dots\dots n x_{1} + n x_{2} + \dots + (n + a) x_{n} = 0, (n \geq 2) .

试问

a

取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

答案

有非零解当且仅当 $a = 0$ 或 $a = - \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ；当 $a = 0$ 时 $x_{i} = t_{i} (1 \leq i \leq n - 1), x_{n} = - i = 1 \sum n - 1 t_{i}$ ，其中各参数为任意实数；当 $a = - \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 时 $x_{i} = i t (i = 1, \dots, n)$

解析

令 $S = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} > 0$ ，并记 $s = x_{1} + \dots + x_{n}$ 。原方程组逐行等价于

a x_{i} + i s = 0, i = 1, \dots, n .

对这些等式求和，得 $(a + S) s = 0$ 。

当 $a = 0$ 时，各式均等价于 $s = 0$ 。取任意实数 $t_{1}, \dots, t_{n - 1}$ ，通解为

x_{i} = t_{i} (1 \leq i \leq n - 1), x_{n} = - i = 1 \sum n - 1 t_{i} .

因 $n \geq 2$ ，可选不全为零的参数，故存在非零解。

当 $a \neq = 0$ 时，若 $a + S \neq = 0$ ，则 $s = 0$ ，进而所有 $x_{i} = 0$ 。若 $a = - S$ ，则 $x_{i} = \frac{i s}{S}$ ，故通解为

x_{i} = i t, i = 1, \dots, n, t \in R .

代回可见任意 $t$ 均满足原方程，且 $t \neq = 0$ 时为非零解。

因此存在非零解当且仅当 $a = 0$ 或 $a = - \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ，对应通解如上。