设切点横坐标为$x_0$。相切于$x$轴要求$x_0^3-3a^2{x}_0+b=0$且$3x_0^2-3a^2=0$，所以$x_0=\pm a$。

若$x_0=a$，则$b=2a^3$；若$x_0=-a$，则$b=-2a^3$。因此两种情形都给出$b^2=4a^6$。