（1）找出待查点。指数分母要求 $x\ne 1$，对数要求 $x\ne -1$，分母要求 $x\ne 0,2$。函数在定义域内连续，只需检查 $-1,0,1,2$。
（2）检查 $-1$。除对数外的因子趋于正数 $\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{[3(1-e^{-1})]}$，而 $\ln |1+x|\to -\infty$，所以两侧 $f(x)\to -\infty$，为第二类间断点。
（3）检查 $0$。附近 $|1+x|=1+x$，由 $\ln (1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$，得

因此 $0$ 是可去间断点，属第一类。
（4）检查 $1$。除指数外的因子趋于 $-\frac{\ln 2}{(e-1)}<0$。当 $x\to 1^{-}$ 时 $e^{\frac{1}{(x-1)}}\to 0$，故 $f(x)\to 0$；当 $x\to 1^{+}$ 时指数因子趋于正无穷，故 $f(x)\to -\infty$。至少一侧无有限极限，因此属第二类。
（5）检查 $2$。分子趋于正数 $e\ln 3$，$e^x-1\to e^2-1>0$，剩余因子为 $\frac{1}{(x-2)}$。所以左极限为负无穷，右极限为正无穷，也属第二类。
第二类间断点恰为 $-1,1,2$，共 $3$ 个，选 C。