2005 · 数学一 · 第 4 题 · 填空题

令 $F = (x, y, z)$ ，则题中曲面积分是 $F$ 的外向通量，且 $\nabla \cdot F = 3$ 。

锥面 $z = x^{2} + y^{2}$ 对应球坐标极角 $θ = \frac{π}{4}$ ，所以 $Ω$ 可取 $0 \leq ρ \leq R$ 、 $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ 、 $0 \leq φ \leq 2 π$ 。其体积为

V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{R} ρ^{2} sin θ d ρ d θ d φ = \frac{2 π R ^{3}}{3} (1 - \frac{1}{2}) .

由高斯公式，积分值为 $∭_{Ω} 3 d V = 3 V = 2 π R^{3} (1 - \frac{1}{2})$ 。

答案