记 $b=\frac{3\pi }{2}$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{(2x-3\pi )}$。为消去导数中的分母，取 $v=x-b$ 作分部积分。先在 $[\epsilon ,b-\epsilon ]$ 上计算，再令 $\epsilon \to 0^{+}$；由 $f$ 在 $[0,b]$ 上连续且 $f(0)=0$，两端边界项都趋于零，故

所以平均值为 $\frac{1}{b}{\int }_0^{b}f(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{3\pi }\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3\pi }$。

（1）在 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内分母 $2x-3\pi <0$，故 $f^{\prime }$ 与 $\cos x$ 异号。于是 $f$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上严格递减，在 $[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$ 上严格递增。由 $f(0)=0$，得 $f(x)<0$ 对所有 $x\in (0,\frac{\pi }{2}]$ 成立，特别地 $f(\frac{\pi }{2})<0$。
（2）第一问已得 ${\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}>0$。若 $f$ 在整个闭区间上均非正，则积分也非正，矛盾。因此存在 $c\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$，使 $f(c)>0$。
（3）由连续性和 $f(\frac{\pi }{2})<0<f(c)$，零点定理保证存在 $x_0\in (\frac{\pi }{2},c)$ 满足 $f(x_0)=0$，该点属于 $(0,\frac{3\pi }{2})$。又因前半段恒负、后半段严格递增，后半段至多有一个零点，故所求零点存在且唯一。