第一项的区域为 $1\le x\le 2,x\le y\le 2$；第二项的区域为 $1\le y\le 2,y\le x\le 4-y$。

固定 $y\in [1,2]$，第一项给出 $1\le x\le y$，第二项给出 $y\le x\le 4-y$，合并后为 $1\le y\le 2,1\le x\le 4-y$。

因此原式等于 ${\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_1^{4-y}f(x,y)\mathrm{d}x$，对应选项 C。