1987 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

计算二重积分

I = \iint_{D} e^{x^{2}} d x d y

，其中

D

是第一象限中由直线

y = x

和

y = x^{3}

所围成的封闭区域。

答案

$I = \frac{e - 2}{2}$

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两曲线在第一象限交于 $(0, 0)$ 、 $(1, 1)$ ，且 $0 \leq x \leq 1$ 时 $x^{3} \leq y \leq x$ 。

因此

I = \int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x} e^{x^{2}} d y d x = \int_{0}^{1} (x - x^{3}) e^{x^{2}} d x .

令 $u = x^{2}$ ，则

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - u) e^{u} d u = \frac{1}{2} [(2 - u) e^{u}]_{0}^{1} = \frac{e - 2}{2} .