（1）用参数求导公式建立方程。由 $x=2t+t^2$，得 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2(1+t)>0$，所以参数变换可逆。先有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{[2(1+t)]}$，再对 $t$ 求导并除以 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，得到

与题给 $\frac{3}{[4(1+t)]}$ 相等，并乘以非零量 $4(1+t{)}^3$，得 $(1+t){\psi }^{\prime \prime }-{\psi }^{\prime }=3(1+t{)}^2$。

（2）降阶。令 $p(t)={\psi }^{\prime }(t)$，则 $(1+t)p^{\prime }-p=3(1+t{)}^2$。两边除以 $(1+t{)}^2$，左端正好为商的导数，故

这也等价于对一阶线性方程 $p^{\prime }-\frac{p}{(1+t)}=3(1+t)$ 使用积分因子 $\frac{1}{(1+t)}$。由 ${\psi }^{\prime }(1)=6$ 得 $2(3+C_1)=6$，所以 $C_1=0$，即 ${\psi }^{\prime }=3t+3t^2$。

（3）再积分并用函数值定常数。积分得到 $\psi (t)=\frac{3t^2}{2}+t^3+C_2$。由 $\psi (1)=\frac{5}{2}$ 得 $C_2=0$，故 $\psi (t)=t^3+\frac{3t^2}{2}$，$t>-1$。

（4）核对。其导数为 ${\psi }^{\prime }=3t^2+3t$、${\psi }^{\prime \prime }=6t+3$，因此 $(1+t){\psi }^{\prime \prime }-{\psi }^{\prime }=3(1+t{)}^2$，代回参数二阶导公式正是题给结果，两个初值也满足。