2025 · 数学一 · 第 1 题 · 选择题

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} sin t d t, g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot sin^{2} x

，则（　　）。

A
$x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，也是 $g (x)$ 的极值点
B
$x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的拐点
正确答案
C
$x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点
D
$(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点，也是曲线 $y = g (x)$ 的拐点

答案

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（1）由变限积分求导公式， $f^{'} (x) = e^{x^{2}} sin x$ 。因 $e^{x^{2}} > 0$ ，在 $0$ 左侧充分近处 $f^{'} < 0$ 、右侧充分近处 $f^{'} > 0$ ，故 $x = 0$ 是 $f$ 的极小值点。又

f^{''} (x) = e^{x^{2}} (2 x sin x + cos x), f^{''} (0) = 1 > 0.

由 $f^{''}$ 连续， $0$ 的某邻域内 $f^{''}$ 恒正，凹凸性不改变，故 $(0, 0)$ 不是 $f$ 图像的拐点，排除C、D。
（2）记 $A (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$ ，则 $A (0) = 0$ ， $A^{'} (x) = e^{x^{2}}$ ， $\frac{A ( x )}{x} \to 1$ 。因为 $A (x)$ 与 $x$ 同号，且充分小的非零 $x$ 满足 $sin^{2} x > 0$ ，所以 $g (x) = A (x) sin^{2} x$ 在 $0$ 左侧为负、右侧为正，而 $g (0) = 0$ 。因此 $x = 0$ 不是 $g$ 的极值点，排除A。
（3）为严格判定 $g$ 的拐点，直接求导：

g^{'} (x) g^{''} (x) = e^{x^{2}} sin^{2} x + A (x) sin 2 x, = 2 x e^{x^{2}} sin^{2} x + 2 e^{x^{2}} sin 2 x + 2 A (x) cos 2 x .

由此 $g^{''} (0) = 0$ ，且

x \to 0 lim \frac{g ^{''} ( x )}{x} = 0 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6 > 0.

所以 $g^{''}$ 在 $0$ 左侧充分近处为负、右侧充分近处为正，凹凸性改变， $(0, 0)$ 是 $g$ 图像的拐点，故选B。

也可使用解析函数的幂级数判断。 $e^{t^{2}}$ 与三角函数均为解析函数，其幂级数可在 $0$ 附近积分、相乘和逐项求导。由

e^{t^{2}} sin t A (x) = t + O (t^{3}), = x + \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5}), f (x) sin^{2} x = \frac{x ^{2}}{2} + O (x^{4}), = x^{2} - \frac{x ^{4}}{3} + O (x^{6}),

得 $g (x) = A (x) sin^{2} x = x^{3} + O (x^{7})$ 。由这些收敛幂级数， $f^{''} (x) = 1 + O (x^{2}) > 0$ ， $g^{''} (x) = 6 x + O (x^{5})$ 在 $0$ 两侧变号；同时 $f (x) - f (0) > 0$ ， $g (x) - g (0)$ 两侧异号。故 $f$ 在 $0$ 有极小值而无拐点， $g$ 在 $0$ 无极值但有拐点，选B。这里逐项求导依据解析性，不能仅凭一般的皮亚诺余项展开就对余项求导。