2011 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

因 $f$ 具有二阶连续偏导数，可将积分写成累次积分，并在下述连续被积函数的积分中交换次序。先对 $y$ 分部积分：

I \int_{0}^{1} y f_{x y} (x, y) d y = \int_{0}^{1} x d x \int_{0}^{1} y f_{x y} (x, y) d y, = [y f_{x} (x, y)]_{y = 0}^{y = 1} - \int_{0}^{1} f_{x} (x, y) d y = f_{x} (x, 1) - \int_{0}^{1} f_{x} (x, y) d y .

由 $f (x, 1) \equiv 0$ 沿 $x$ 方向求导，得 $f_{x} (x, 1) = 0$ 。注意这里不能推出 $f_{y} (x, 1) = 0$ 。于是交换积分次序得

I = - \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} x f_{x} (x, y) d x .

再对 $x$ 分部积分，利用 $f (1, y) = 0$ ，有

\int_{0}^{1} x f_{x} (x, y) d x = [x f (x, y)]_{x = 0}^{x = 1} - \int_{0}^{1} f (x, y) d x = - \int_{0}^{1} f (x, y) d x .

故

I = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} f (x, y) d x = \iint_{D} f (x, y) d x d y = a .

两次分部积分各产生一个负号，最终相消； $x = 0$ 、 $y = 0$ 上的边界项由因子 $x$ 、 $y$ 消去，另外两条边由题设条件消去。

答案