先确认积分存在。$K$ 的被积函数在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 连续，是常义积分；$I,J$ 在零点处是反常积分。由 $\frac{\sin x}{x}\to 1$，可写 $\ln \sin x=\ln x+\ln (\frac{\sin x}{x})$，第二项趋于零，可在零点连续延拓；而 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}|\ln x|\mathrm{d}x$ 收敛，故 $I$ 收敛。再由 $\ln \cot x=\ln \cos x-\ln \sin x$，知 $J$ 也收敛。
在 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 上，$0<\sin x<\cos x<1$，且 $\cot x>1$，所以

积分后有 $I<K<0<J$。严格性来自各函数差在开区间内连续且严格为正，可取其中一个闭子区间取得严格正积分；其余部分非负，故不会在取反常积分极限时丢失严格号。因此 $I<K<J$，选 B。

由 $\ln \sin x=\ln x+\ln (\frac{\sin x}{x})$ 可知 $I$ 收敛；$K$ 为常义积分，故 $J=K-I$ 也存在。在 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 上，$\ln \sin x<0$、$\ln \cot x>0$，从而 $I<0$、$J>0$。利用恒等关系 $J=K-I$，得到 $J-K=-I>0$、$K-I=J>0$，故 $I<K<J$，选 B。