2014 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设函数

f (u)

具有连续导数，

z = f (e^{x} cos y)

满足

cos y \frac{\partial z}{\partial x} - sin y \frac{\partial z}{\partial y} = (4 z + e^{x} cos y) e^{x}

。若

f (0) = 0

，求

f (u)

的表达式。

答案

$f (u) = \frac{e ^{4 u} - 4 u - 1}{16}$

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令 $u = e^{x} cos y$ 。由链式法则， $z_{x} = f^{'} (u) e^{x} cos y$ 、 $z_{y} = - f^{'} (u) e^{x} sin y$ ，所以

(cos y) z_{x} - (sin y) z_{y} = f^{'} (u) e^{x} (cos^{2} y + sin^{2} y) = f^{'} (u) e^{x} .

与题设比较，约去非零因子 $e^{x}$ ，得 $f^{'} (u) - 4 f (u) = u$ 。 $u = e^{x} cos y$ 可取任意实数。
取积分因子 $e^{- 4 u}$ ，方程化为 $(e^{- 4 u} f (u))^{'} = u e^{- 4 u}$ 。右侧分部积分得

\int u e^{- 4 u} d u = - \frac{u}{4} e^{- 4 u} - \frac{1}{16} e^{- 4 u} + C .

故 $f (u) = C e^{4 u} - \frac{u}{4} - \frac{1}{16}$ 。由 $f (0) = 0$ 得 $C = \frac{1}{16}$ ，所以 $f (u) = \frac{( e ^{4 u} - 4 u - 1 )}{16}$ 。其导数 $f^{'} (u) = \frac{( e ^{4 u} - 1 )}{4} = 4 f (u) + u$ ，满足方程和初值。

由链式法则代入题设，同样得到 $f^{'} (u) - 4 f (u) = u$ 。齐次解为 $C e^{4 u}$ ；设特解 $A u + B$ ，比较 $A - 4 (A u + B) = u$ 的系数，得 $A = - \frac{1}{4}$ 、 $B = - \frac{1}{16}$ 。因此 $f (u) = C e^{4 u} - \frac{u}{4} - \frac{1}{16}$ 。再由 $f (0) = 0$ 定出 $C = \frac{1}{16}$ ，得到 $f (u) = \frac{( e ^{4 u} - 4 u - 1 )}{16}$ 。